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前述

在地铁设计中经常会遇到一个问题就是有时轨道按行车专业提出的牵引速度设置超高后发现超高顺坡率有点高，超过了规范中要求的 2‰，有时还可能大于 2.5‰，或超高时变率超过规范值。此时就不得不降低超高，但随之而来的结果就是降低了轨道允许的行车速度。另外一种解决办法就是要线路专业延长缓和曲线。

一般而言线路专业选择的缓和曲线长度都应该能满足轨道超高设置要求，但是发现现实并不是这样，这里边一定有原因。经过咨询发现线路专业在选择缓和曲线长度时，一般都会按《地铁设计规范》GB 50157-2013 第 6.2.2 节中的 “线路曲线超高 – 缓和曲线长度” 中最大缓和曲线长度来进行设置的，这种做法是没有问题的，但是当线路专业受制于各种条件无法满足采用最大缓和曲线长度时，就会选择较短的缓和曲线，缓和曲线越短，意味着超高可能设置的值越小，曲线能够允许的速度也越小。线路专业在设计时较少考虑曲线的限速影响。行车专业在计算牵引曲线时，对于曲线的限速是没有考虑缓和曲线的影响的，只考虑了曲线半径的及欠超高的影响。以上的这种不匹配关系导致了轨道专业在计算超高时时常会发生超高顺坡率超限的情况。

超高时变率与超高顺坡率

缓和曲线长、超高顺坡率以及限速之间具体是什么关系，又是如何量化表达的，这是本文想要探讨的。线路专业在计算缓和曲线长度时有一个概念很重要：超高时变率。超高时变率是指一个曲线超高在缓和曲线上通过时间的变化程度。超高时变率是限制车轮升高速度的舒适性指标。按《地铁设计规范 GB 50157-2013》第 6.2.2 条的条文解释，在地铁中一般是 40mm/s。

设顺坡长度：L（m），列车经过曲线的速度 V(km/h)，时间 t(s), 超高 h(mm)。则超高时变率 f 为:

f=\frac{h}{t}=\frac{h}{\frac{L}{v}}=\frac{hv}{3.6L}\le40 \tag{1}

那么我们也可以推出来在满足超高时变率的情况下，轨道的超高顺坡率为：

i=h/L=\frac{h}{\frac{hv}{3.6f}}=\frac{3.6f}{v}\le 3.6\times\frac{0.04}{v}=\frac{0.144}{v}\approx\frac{1}{7v} \tag{2}

上式意味着在满足超高时变率的情况下，超高顺坡率是一个与超高大小无关的量，其大小与通过曲线的速度的大小有关。以下我们讨论车辆通过曲线时的速度限值是多少，看看不同的速度下超高时变率有多大。由于《地铁设计规范》中最大的设计时速为 100km/h，我们以设计时速为 100km/h 的情况进行讨论。

（1）曲线限速≤100km/h

《地铁设计规范》 GB 50157-2013 要求曲线最大超高为 120mm。当一个曲线的超高可设置为 120m 时，一般最高限制速度按未被平衡加速度 0.4m/s² 计（亦即欠超高为 61mm，根据《城市轨道交通工程项目规范》GB55033 目前已没有困难情况下的欠超高），则曲线的限制速度为：

\begin{align} V_{限}\lt V_{0.4} &= \sqrt{(120+153\times0.4)R/11.8}\\ &= 3.92\sqrt{R}\gt3.91\sqrt{R}\quad(km/h) \end{align} \tag{3}

《地铁设计规范》 GB 50157-2013 中的取值为 3.91\sqrt{R}，属于偏舒适考虑。由上式可以得出曲线的限制速度与曲线半径有密切关系。

正线的线路的曲线半径最小为 250m。于是可得并非所有曲线的都可以达到最达的设计时速（100km/h），如 A 型车正线曲线半径一般最小值为 350m，则通过曲线的最大速度由上式计算可得为 73km/h。此时的曲线的超高顺坡率为：

\begin{align} i \leq1/{7v} &=1/(7\times3.91\sqrt{R})\\ &=\frac{0.0365}{\sqrt{R}}\le\frac{0.0365}{\sqrt{350}}\\ &=1.95‰\approx2‰ \end{align} \tag{4}

当曲线半径为最小值 250m 时，限速 61km/h，i≤2.31‰。

所以，当线路按每个曲线满足最大速度行驶并满足超高时变率要求时， 曲线半径越大，超高顺坡率越小，当曲线半径最小时可以得到最大的超高顺坡率， 一般情况下均能满足轨道超高顺坡率不大于 2‰的要求，最大值为 2.31‰。

缓曲线的最小长度计算公式为：

L=h/i=120/(\frac{0.0365}{\sqrt{R}})/1000=3.288\sqrt{R} \tag{5}

这个公式计算所得与《地铁设计规范》GB50157-2013 中 6.2 节表 6.2.2 线路曲线超高 – 缓和曲线长度基本是一致的。在 R=350m 时给出的最小缓和曲线长度是 60m(实际计算为 61.5m)。

在以上计算中，我们给出了当曲线限速 V≤100km/h 时，当曲线满足速度最大，超高设置为 120mm，欠超高为 61mm 时的超高顺坡率的最大值，以及对应的缓和曲线长度计算方法和对应关系，但是线路在绘制时受制于各种各样的因素，缓和曲线没办法达到最大值，那么他们就会按《地铁设计规范》表 6.2.2 中列出的信息，会在对应的半径长中选择一个合适的缓和曲线长。那么缩短缓和曲线长会有什么影响呢？首先缓和曲线变短后仍然需要满足超高时变率 40mm/s 的要求。我们需要在给定的 R、L 情况下来计算超高 h 和计算限速 V。

\begin{align} \frac{hv}{3.6L}&\le40\\ \frac{11.8v^2}{R}v &\le144L\\ v&\le(12.2LR)^{1/3}\\ h&\le\frac{11.8v^2}{R}=62.535\frac{L^{2/3}}{R^{1/3}} \end{align} \tag{6}

我们以 R=350m 半径为例来说明上述计算是正确的。当 R=350，L=55 时，计算限速为 61.7km/h，计算超高为 128（大于 120mm，仍然取 120mm），规范表格中对应的限速为 65km/h，超高为 120mm。由于超高计算大于了 120mm，实际取应为 120mm，比理论值是要低的，按上述第一个公式可以计算出限速也是要高一些的。当 R=350，L=40 时，计算限速 55.5km/h，计算超高 104mm。规范中的限速值和超高值分别对应 55km/h 和 100mm。基本一致。实际上由于规范中给定的表格中超高和限速是按整 5 整 10 变化的，同时还有部分按速度计算时超高超过 120mm 的情况，所以为简单计算我们只需要按 (hv)/(3.6L)\le40 进行计算即可。

上述计算缓和曲线最大长度时是以欠超高为 61mm 计的，如果欠超高为 75mm（未被平衡加速度为 0.5m/s²））时会怎么样呢？由于曲线半径的影响，最大超高值可以设置在 120mm，曲线限制速度按地铁设计规范为 4.08\sqrt{R}\quad km/h。此时由于速度的增加，但缓和曲线没有相应的变长，则时变率可能会发生不满足的情况：

\begin{align} f&=\frac{hv}{3.6L}\\ &=\frac{120\times4.08\sqrt{R}}{3.6\times3.228\sqrt{R}}\\ &=42\gt40mm/s \end{align} \tag{7}

综上，在曲线限速≤100km/h 时，缓和曲线长度是与半径 R 相关的一个量，曲线半径越大，缓和曲线越长。

（2）曲线限速≥100km/h

在（1）中缓和曲线的长度计算公式并不是对所有曲线都适用，这是因为线路要求的最大速度是有上限的，如本节要求的最大速度是 100km/h，也就是说并不是所有的曲线都需要设置 120mm 的超高并按 0.4m/s² 的未被平衡加速度才能使该曲线上的列车达到最大时速。当曲线半径越大，未被平衡加速度越小，曲线允许通过的速度越大，直至设计时速。

当未被平衡加速度为 0.4m/s²，超高为 120mm 时，曲线可以达到设计时速为 100km/h 时，最小的曲线半径为：
R=(100/3.91)^2=654m \tag{8}

即当线路需要达到设计时速为 100km/h 的最小曲线半径为 654m。此时缓和曲线的长度要求也最长，为：84m。随着曲线继续增加，在曲线上要达到 100km/h 时的未被平衡回速度不一定要 0.4m/s² 就可以了。曲线半径继续增加，直至未被平衡加速度为 0m/s² 就可以满足 100km/h 的行车需求。此时的半径为：
R=11.8\times100^2/120=983m \tag{9}

从上述可知当 654≤R≤983m 时，虽然曲线半径在不断变大，由于轨道超高为 120mm，只是通过缩小未被平衡加速度就可以满足曲线允许速度为 100km/h 的条件，即超高固家，速度固定，则根据 f=\frac{hv}{3.6L}=40 可知缓和曲线长也是固定的，均为 84m。在地铁设计规范中给出的 700 半径、800 半径和 1000 半径时，速度可以达到 100km/h 的工况下，此时缓和曲线长度均为 85m。

当曲线半径继续增加，半径大于 983m 时，轨道超高不再需要设置 120mm 就可以允许曲线上列车通过速度达到 100km/h。此时轨道的设计超高为：
h=11.8\frac{100^2}{R} \tag{11}
根据上文中超高时变率的计算公式可得：

\begin{align} f&=\frac{h}{t}=\frac{h}{\frac{L}{v}}=\frac{hv}{3.6L}\le40\\ L&\ge0.7h=\frac{82600}{R}\\ i&=h/L\le1.43‰=\frac{1}{7v}\quad(v=100km/h) \end{align} \tag{12}

故当曲线半径大于 983m 时，曲线半径越大，缓和曲线越短，如下表所示。

曲线半径	计算缓和曲线长	规范值
1000	83	85
1200	69	70
1500	55	55
2000	41	45
2500	33	35

同时超高顺坡率是一个定值 1.43‰。

同样的，当线路业受制于各种因素而无法设置较长的缓和曲线时，就会选择缩短的缓和曲线，但是根据地铁规范，缓和曲线一般不小于 20m，这是基于一节车辆的全轴矩（两个转向架中心距 + 一个转向架固定轴距）长度要求而定，大致按一节车辆长度为 20m。

结论

综上，一般而言线路专业会按超高时变率设置缓和曲线，按超高时变率计算出来的超高都能满足轨道专业要求的超高顺坡率的要求（i=1/(7v)）。

在曲线决定最大限速情况下，250≤R≤654 时，曲线限速≤100km/h，缓和曲线长随半径的增加而变大，超高顺坡率逐渐变小，最大值 2.31‰；654≤R≤983 时，曲线限速 = 100km/h，缓和曲线长不变，超高顺坡率不变为 1.43‰；983≤R 时，曲线限速 = 100km/h，缓和曲线长随半径增加而减少，超高顺坡率为定值 1.43‰。但是当线路没有取最大缓和曲线长时，曲线限速不应按半径进行计算，而应该超高时变率进行考虑。

行车专业在进行牵引计算时不仅应考虑圆曲线的限速，还应考虑缓和曲线带来的限速。这就需要行车专业能够编制一款小程序以便能够根据线路曲线半径和前后缓和曲线长得出限速值。当发现有不满足时，或者降速优化牵引曲线，或者反馈给线路专业进行优化线路。

当行车专业对缓和曲线限速操作困难时，也可以仍按圆曲线半径进行限速计算，只不当轨道专业计算超高值及限速值时会发现部分值不满足规范，再反馈给行车和线路专业进行调整。